Voici une fiche de révision sur les statistiques et les probabilités pour vous préparer à un concours de catégorie B. Cette fiche couvre les concepts de base dans ces domaines.
Statistiques :
- Notions de base :
- Population : Ensemble complet des éléments à étudier.
- Échantillon : Sous-ensemble de la population utilisé pour l’analyse.
- Variable : Caractéristique que vous mesurez dans une étude.
- Types de données :
- Données quantitatives : Mesurables (ex. : âge, taille).
- Données qualitatives : Catégoriques (ex. : genre, couleur).
- Mesures de tendance centrale :
- Moyenne : Somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
- Médiane : Valeur du milieu lorsque les données sont triées.
- Mode : Valeur qui apparaît le plus souvent.
- Mesures de dispersion :
- Écart-type : Mesure la dispersion des données par rapport à la moyenne.
- Variance : Carré de l’écart-type.
- Plage interquartile (IQR) : Écart entre le premier et le troisième quartile.
Probabilités :
- Concepts de base :
- Événement : Un résultat possible dans une expérience aléatoire.
- Espace échantillonnal : Ensemble de tous les résultats possibles.
- Probabilité : Mesure de la chance qu’un événement se produise.
- Règles de probabilité :
- La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1.
- La somme des probabilités de tous les événements possibles dans l’espace échantillonnal est égale à 1.
- Probabilité d’un événement :
- Probabilité d’un événement simple : Nombre de résultats favorables / Nombre total de résultats possibles.
- Probabilité d’un événement composé : Utilisez les règles des probabilités pour les événements multiples (et, ou).
- Probabilité conditionnelle :
- La probabilité d’un événement A sachant que B s’est produit : P(A|B) = P(A et B) / P(B).
- Loi de probabilité :
- Loi de probabilité discrète : Assignez des probabilités à chaque résultat (ex. : loi de Bernoulli, loi binomiale).
- Loi de probabilité continue : Utilisez des densités de probabilité (ex. : loi normale).
- Espérance et variance :
- Espérance (moyenne pondérée des résultats possibles).
- Variance (mesure de la dispersion des valeurs).
Distributions statistiques :
- Distribution normale (Gaussienne) :
- Courbe en forme de cloche.
- Moyenne, médiane et mode sont égaux.
- 68-95-99.7 règle empirique.
- Distribution binomiale :
- Utilisée pour modéliser des événements binaires (succès/échec).
- Paramètres : nombre d’essais (n) et probabilité de succès (p).
- Distribution de Poisson :
- Utilisée pour modéliser le nombre d’événements rares dans un intervalle de temps ou d’espace.
- Distribution exponentielle :
- Modélise le temps entre les événements dans un processus de Poisson.
Pour s’entraîner
Problème 1 : Probabilité simple Supposons qu’un sac contienne 4 boules rouges, 3 boules vertes et 5 boules bleues. Si vous choisissez une boule au hasard, quelle est la probabilité qu’elle soit verte ?
Problème 2 : Probabilité conditionnelle Dans un jeu de cartes, vous avez un paquet de 52 cartes. Si vous tirez une carte au hasard, quelle est la probabilité qu’elle soit un as, sachant qu’elle est noire (pique ou trèfle) ?
Problème 3 : Loi normale Les scores d’un test standardisé ont une moyenne de 100 et un écart-type de 15. Quelle est la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard ait un score supérieur à 120 ?
Problème 4 : Distribution binomiale Un joueur de basket a une moyenne de réussite de 80% pour les lancers francs. S’il tire 10 lancers francs, quelle est la probabilité qu’il en réussisse exactement 7 ?
Problème 5 : Espérance Dans un jeu de dés équilibré à 6 faces, vous gagnez 5 € si vous obtenez un 6 et perdez 1 € pour tout autre résultat. Quelle est l’espérance de gain pour un lancer de ce dé ?
Problème 6 : Variance Une entreprise de fabrication produit des ampoules. La probabilité qu’une ampoule soit défectueuse est de 0,05. Si un client achète 50 ampoules, quelle est la variance du nombre d’ampoules défectueuses qu’il pourrait recevoir ?
Problème 7 : Distribution de Poisson Le nombre moyen de pannes de courant par jour dans une petite ville est de 2. Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement 3 pannes de courant le jour suivant ?
Problème 8 : Probabilité conjointe Deux dés équilibrés à 6 faces sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 7 ?
Problème 9 : Échantillonnage aléatoire Vous souhaitez estimer la taille moyenne des arbres dans une forêt. Vous mesurez la taille de 20 arbres choisis au hasard. Quelle est la probabilité que votre échantillon soit représentatif de la population entière de la forêt ?
Problème 10 : Loi exponentielle Le temps moyen entre les arrivées de clients dans un magasin est de 10 minutes, suivant une distribution exponentielle. Quelle est la probabilité qu’il s’écoule plus de 15 minutes entre deux arrivées de clients ?
Réponses
Problème 1 : Probabilité simple Il y a 3 boules vertes dans le sac. Le nombre total de boules dans le sac est de 4 (rouges) + 3 (vertes) + 5 (bleues) = 12. La probabilité de choisir une boule verte est donc de 3/12 = 1/4.
Problème 2 : Probabilité conditionnelle Il y a 26 cartes noires (13 piques + 13 trèfles) dans un paquet de 52 cartes. Parmi les 26 cartes noires, il y a 2 as (un as de pique et un as de trèfle). Donc, la probabilité de tirer un as sachant que la carte est noire est de 2/26 = 1/13.
Problème 3 : Loi normale Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la table de la loi normale standard (z).
- Calculez la valeur z : z = (120 – 100) / 15 = 20 / 15 = 4/3.
- Recherchez la probabilité correspondant à z = 4/3 dans la table de la loi normale standard. Vous trouverez que P(Z < 4/3) est environ égal à 0.908.
- La probabilité que l’étudiant ait un score supérieur à 120 est donc 1 – 0.908 = 0.092, soit 9.2%.
Problème 4 : Distribution binomiale La probabilité de réussir un lancer franc est de 80%, ce qui équivaut à p = 0.8. Le nombre de lancers (n) est de 10, et vous souhaitez réussir exactement 7 lancers. Pour calculer cela, vous pouvez utiliser la formule de la distribution binomiale :
P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)
où “n choose k” représente le coefficient binomial. Dans ce cas, “n choose 7” est égal à 10. Donc :
P(X = 7) = (10 choose 7) * 0.8^7 * (1-0.8)^(10-7)
P(X = 7) = 120 * 0.8^7 * 0.2^3 ≈ 0.2013
La probabilité de réussir exactement 7 lancers est d’environ 20.13%.
Problème 5 : Espérance Il y a 1/6 de chance d’obtenir un 6, avec un gain de 5 €, et 5/6 de chance d’obtenir un autre résultat, avec une perte de 1 €. Calculons l’espérance :
Espérance = (1/6) * 5 € + (5/6) * (-1 €) = (5/6) * 4 € – (5/6) € = (5/6) * 3 € = 15/6 € ≈ 2.50 €
L’espérance de gain pour un lancer de ce dé est de 2.50 €.
Problème 6 : Variance La probabilité qu’une ampoule soit défectueuse est de p = 0.05. Si un client achète 50 ampoules, le nombre d’ampoules défectueuses suit une distribution binomiale avec n = 50 et p = 0.05.
La variance d’une distribution binomiale est calculée comme suit :
Variance = n * p * (1 – p)
Variance = 50 * 0.05 * (1 – 0.05) = 50 * 0.05 * 0.95 = 2.375
Donc, la variance du nombre d’ampoules défectueuses dans un lot de 50 est de 2.375.
Problème 7 : Distribution de Poisson Le nombre moyen de pannes de courant par jour est de λ = 2. La probabilité qu’il y ait exactement 3 pannes de courant le jour suivant est donnée par la formule de la distribution de Poisson :
P(X = 3) = (e^(-λ) * λ^3) / 3!
P(X = 3) = (e^(-2) * 2^3) / 3!
P(X = 3) ≈ (0.1353 * 8) / 6 ≈ 0.1804
La probabilité qu’il y ait exactement 3 pannes de courant est d’environ 0.1804, soit environ 18.04%.
Problème 8 : Probabilité conjointe Pour obtenir une somme de 7 avec deux dés à 6 faces, les combinaisons possibles sont (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), et (6, 1). Il y a donc 6 façons d’obtenir une somme de 7. Le nombre total de combinaisons possibles est de 6 faces * 6 faces = 36.
La probabilité de tirer une somme de 7 est de 6/36 = 1/6.
Problème 9 : Échantillonnage aléatoire La probabilité que votre échantillon soit représentatif dépend du nombre total d’arbres dans la forêt et de la manière dont vous avez effectué l’échantillonnage. Si vous avez utilisé une méthode d’échantillonnage aléatoire simple, chaque arbre avait une chance égale d’être inclus dans l’échantillon.
Pour calculer la probabilité que votre échantillon soit représentatif, vous devez connaître le nombre total d’arbres dans la forêt et le nombre d’arbres que vous avez mesurés. Par exemple, si la forêt contient 1000 arbres et vous en avez mesuré 20 au hasard, la probabilité que votre échantillon soit représentatif est de 20/1000 = 1/50.
Problème 10 : Loi exponentielle La moyenne du temps entre les arrivées de clients est de 10 minutes, ce qui correspond au paramètre λ (lambda) de la distribution exponentielle. La probabilité qu’il s’écoule plus de 15 minutes entre deux arrivées de clients est donnée par :
P(X > 15) = 1 – P(X ≤ 15)
P(X > 15) = 1 – [1 – e^(-15/10)]
P(X > 15) = 1 – (1 – e^(-1.5))
P(X > 15) = e^(-1.5)
En utilisant une calculatrice, vous pouvez trouver que P(X > 15) est d’environ 0.2231, soit environ 22.31%.
Ces réponses détaillées devraient vous aider à comprendre comment résoudre ces problèmes de statistiques et de probabilités. N’hésitez pas à poser d’autres questions si vous avez besoin de clarifications supplémentaires.